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方向导数计算公式 请问这个尔原函数的方向导数为何存在?方向导数的公式是:fxx0,y0cosa+fyx0,y0cosb可对于函数z=根号下x^2+y^2书上说在0,0处沿l=i方向的方向导数等于1.这是怎么算出来的呀?0,0处fxx0,y0根本就

2021-7-9 13:20| 发布者: admin| 查看: 1| 评论: 0

摘要: 只有当二元函数f(x,y)的2个偏导数都存在的时候,才有,方向导数的这个公式:fx(x0,y0)cosa+fy(x0,y0)cosb 对于函数 f(x,y) = ^(1/2),fx(x,y) = x^(-1/2),fy(x,y) = y^(-1/2),x^2 + y^2 不等于0,也就是x,y不能同时为 ...
只有当二元函数f(x,y)的2个偏导数都存在的时候,才有,
方向导数的这个公式:fx(x0,y0)cosa+fy(x0,y0)cosb
对于函数 f(x,y) = [x^2 + y^2]^(1/2),
fx(x,y) = x[x^2 + y^2]^(-1/2),
fy(x,y) = y[x^2 + y^2]^(-1/2),
x^2 + y^2 不等于0,也就是x,y不能同时为0.
你说的非常正确,
在(0,0)处,fx(0,0)根本就不存在.
这个时候,要计算(0,0)处的方向导数.只能利用方向导数的定义了.
比如,要算 y = kx 方向上的方向导数.
f(x,y) = f(x,kx) = [(1+k^2)x^2]^(1/2),
f(0,0) = 0.
[(x-0)^2 + (y-0)^2]^(1/2) = [x^2 + k^2x^2]^(1/2) = [(1+k^2)x^2]^(1/2).
lim_{y=kx,(x,y)->(0,0)}{[f(x,y)-f(0,0)]/[(x-0)^2 + (y-0)^2]^(1/2)}
= lim_{x->0}{[f(x,kx)-f(0,0)]/[(x-0)^2 + (kx-0)^2]^(1/2)}
= lim_{x->0}{[f(x,kx)]/[(x-0)^2 + (kx-0)^2]^(1/2)}
= lim_{x->0}{[(1+k^2)x^2]^(1/2)/[(1+k^2)x^2]^(1/2)}
= lim_{x->0}{1}
= 1.
我想,这就是书上说在(0,0)处函数 f(x,y) = [x^2 + y^2]^(1/2)沿某方向的方向导数等于1,的原由吧.
可以肯定地说,这是利用方向导数的定义算出来的.

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